引言

根据国家《给水排水设计手册》^[1]和《室外排水设计规范 (GBJ14-87) 》^[2]规定, 暴雨强度是设计水库大坝高度, 确定公路、铁路涵洞直径以及城市雨污分流管道系统的关键技术参数, 也是设计防洪及水利工程设施中的重要指标, 而这些工程排水的可靠与否和采用的暴雨强度公式的准确性和精度有直接关系。

暴雨强度公式是反映一定重现期、历时下的平均暴雨强度, 有许多种经验公式, 在我国一般采用如下公式^[1-2] :

式 (1) 中i, t, T均为变量; i为暴雨强度 (单位: mm/min); T为重现期 (单位:a), 取值范围为0.25~100 a; t为降雨历时 (单位:min), 取值范围为1~120 min。重现期越长、历时越短, 暴雨强度就越大。而A₁, C, b, n是与地方暴雨特性有关且需求解的参数 (b, n亦称气候参数): A₁雨力参数, 即重现期为1 a时的1 min设计降雨量 (单位:mm), C为雨力变动参数, b为降雨历时修正参数, 即对暴雨强度公式两边求对数后能使曲线化成直线所加的一个时间常数 (单位:min), n为暴雨衰减指数, 与重现期有关。

式 (2) 中, A为雨力参数, 即不同重现期下的1 min设计降雨量 (单位: mm)。

可见暴雨强度公式为已知关系式的超定非线性方程, 总公式、分公式各有4个和3个参数, 常规方法将无能为力, 所以参数估计方法设计和减少估算误差尤为关键。长期以来水文气象工作者不懈探索, 提出许多参数估算方法, 在城市排水设计中发挥了重要的作用。但这些方法仍然存在较大的人为判断误差 (经验法、图解法), 一定的近似假设误差 (麦夸尔特法, 遗传法, 加速遗传法, Marqardt-Hartley法, 解超定非线性方程组), 以及跳跃搜索中遗漏误差 (二分搜索法或黄金分割法)。本文在以上工作基础上提出了一种客观、对参数进行全组合、可找到最小误差的参数估算方法, 可巧妙避开以上3类问题的出现。虽然占用机时较多, 如对总公式, 若参数均保留3位小数, 有近亿种组合, 在PIV/2.8 G微机上约需机时10 min左右, 但在计算速度不断加快的今天已不是问题。

1.   方法与误差分析

首先对式 (1) 和 (2) 进行线性化处理, 再推导出未知参数b与C的取值范围, 给定一个b值 (分公式) b与C组合 (总公式), 对已求出的雨强-历时-重现期 (i-t-T) 三联表数据, 进行最小二乘法拟合便可得到参数A, n, 以总误差最小为控制条件, 理论上可得到最优的一组参数估算值。采用均方根误差 (σ) 或相对均方根误差 (f) 并参照国家标准^[2]进行误差评判。

1.1   确定b和C的范围

根据大量文献, 从我国200多个暴雨强度公式^{[1, 3-27]}中可见, b, C是有一定范围的, 最大值分别为46.4(江苏无锡), 1.537(河南济源)。另外1 + ClgT必须大于0, 而T=0.25时, lgT=-0.602, 所以必须有C < 1.666。

1.2   对分公式线性化及最优化目标控制

对分公式, b取 (0, 50.000), 以0.001为间隔, 共50000种情景, 对分公式两端求对数:

通过最小二乘法求出b₀, b₁, 从而可求出A, n以及i′ (拟合值), 同时求出均方根误差:

以其为目标函数, 取使σ最小的一组参数, 同时计算出相对均方根误差。

同理, 也可求出i与i′的相关系数r, 取使r最大的一组参数。

1.3   对总公式线性化及最优化目标控制

对总公式, b取 (0, 50.000), C取 (0, 1.666), 以0.01为间隔, 共5000×166=830000种组合, b取 (0, 50.000), C取 (0, 1.666), 以0.001为间隔, 共50000×1666=83300000种组合对总公式两端求对数:

通过最小二乘法求出b₀, b₁, 从而可求出A₁, n以及i′, 同时求出总的误差:

以其为目标函数, 取使σ最小的一组参数。其中也可m₀=8, 即前8个重现期 (0.25 a, …, 10 a)。并将总公式分解到分公式 (代入不同的T便可), 算出分公式均方根误差和相对均方根误差。

同理, 也可求出i与i′的相关系数r, 取使r最大的一组参数。

1.4   误差标准

按照国家标准^[2]规定, 暴雨强度公式参数估算误差, 以均方差σ≤0.05 mm为主要衡量指标, 对于深圳、武汉这样降雨强度大的地方, 也可采用另一规定:平均相对误差f≤5%, 或适当放宽条件为均方差在多数重现期下 (0.25 a, …10 a, 共8个重现期) 不高于0.05 mm, 或平均相对误差不高于5%。

1.5   试验资料

利用指数分布, 根据深圳市1954—2003年50年、武汉市1961—1995年35年降水资料序列求出两地各自的雨强-历时-重现期 (i-t-T) 三联表数据, 见表 1^①和表 2。可见深圳的雨强比武汉大。

①陈正洪, 张海军, 王小丽, 等.深圳市新一代暴雨强度公式的编制与创新研究———技术报告. 2005.

表  1  深圳市不同历时 (t)、重现期 (T) 对应的雨强 (指数分布, 单位: mm/min)

Table  1.  Rainstorm intensity with duration (t) and return period (T) in Shenzhen (exponential distribution, unit: mm/min)

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表  2  武汉市不同历时 (t)、重现期 (T) 对应的雨强 (指数分布, 单位: mm/ min)

Table  2.  Rainstorm intensity with duration (t) and return period (T) in Wuhan (exponential distribution, unit: mm/min)

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2.   试验结果分析

2.1   分公式

根据深圳、武汉的i-t-T资料, 采用最优法求出两地各自的暴雨强度分公式各参数和误差, 见表 3、表 4。

表  3  最优法所求深圳市暴雨强度分公式参数和误差一览表 (指数分布)

Table  3.  The value of the parameters and error of the rainstorm intensity formula for single return period calculated by optimized method in Shenzhen (exponential distribution)

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表  4  最优法所求武汉市暴雨强度分公式参数和误差一览表 (指数分布)

Table  4.  The value of the parameters and error of the rainstorm intensity formula for single return period calculated by optimized method in Wuhan (exponential distribution)

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可见, 两地重现期为20年以下的各分公式的绝对误差均在0.05 mm以下, 最小只有0.0122 mm; 重现期为50年、100年两种情况也只略大于临界值, 最大也只有0.0667 mm。两地相对误差则全部在2.62%以下。至于绝对误差、相对误差平均值, 在深圳分别为0.0324 mm, 1.717%, 在武汉分别为0.0334 mm, 2.284%, 结果相当理想。另外还发现, 两地分公式的绝对误差、相对误差均随重现期增加而增大。深圳市不同重现期下暴雨强度随历时变化曲线见图 1(武汉市图略)。

图  1  深圳市不同重现期的暴雨强度随历时变化曲线

(指数分布, 从上到下对应重现期为100 a, 50 a, ..., 0.25 a)

Figure  1.  The curve of rainstorm intensity with duration in different return period in Shenzhen

(exponential distribution, the return period: 100 a, 50 a, ..., 0.25 a from top to bottom)

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2.2   总公式

采用最优法求出了两地各自的暴雨强度总公式各参数,

以上两公式误差见表 5。

表  5  最优法所求深圳、武汉暴雨强度总公式误差一览表 (指数分布)

Table  5.  The value of the error of the rainstorm intensity formula for any return period calculated by optimized method in Shenzhen and Wuhan (exponential distribution)

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由表 5可见, 在深圳, 重现期为10年以下公式绝对误差不高于0.05 mm标准的仅4次 (4/8), 但相对误差不高于5%标准的则有6次 (6/8);在武汉, 重现期10年以下公式绝对误差则全部达标 (8/8), 相对误差达标的也有6次 (6/8)。深圳绝对误差平均不达标, 但平均相对误差可达标; 在武汉, 平均绝对误差、相对误差均达标, 完全可以满足国家标准的要求。

2.3   与其他方法计算结果比较

同时计算出二分搜索法 (黄金分割法) ^{[16, 19]}推算出总公式参数后的回代误差 (表 6), 并与表 5进行对比。可见, 二分搜索法在两地求出的暴雨强度公式的绝对误差均不能达标; 至于相对误差, 在深圳重现期10年以下公式的相对误差个数 (5/8) 及平均值刚好可达标, 在武汉虽然重现期10年以下公式的相对误差个数不达标 (4/8), 但所有重现期下公式的相对误差个数可达标 (7/11), 平均值仍不能达标。无疑, 二分搜索法整体效果仍不及最优法。

表  6  二分搜索法 (黄金分割法) 所求深圳、武汉暴雨强度总公式误差一览表 (指数分布)

Table  6.  The value of the error of the rainstorm intensity formula for any return period calculated by two-part searching method in Shenzhen and Wuhan (exponential distribution)

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3.   结语

1) 在前人工作基础上, 考虑计算条件的极大改善, 提出了一种简单、有效的暴雨强度公式参数的求解方法, 较好地解决了暴雨强度公式参数的估算问题。

2) 以深圳和武汉多年短历时暴雨样本资料为例, 应用该算法求取了两地暴雨强度公式参数, 结果表明两地公式精度均高于国家规范要求, 尤其是较好地控制了大雨地区总公式的误差。