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环境参量对广义Eady模态不稳定的影响

张立凤 张铭

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环境参量对广义Eady模态不稳定的影响

  • 资助项目: 本文得到国家重点基础研究专项经费 (编号G1998040900) 和国家自然科学基金 (批准号49875008) 资助

INFLUENCEOF ENVIRONMENT PARAMETERS ON INSTABILITY OF GENERALIZED EADY' S MODEL

图(7) / 表(2)
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出版历程
  • 收稿日期:  2001-01-02
  • 修回日期:  2001-09-04
  • 刊出日期:  2002-10-31

环境参量对广义Eady模态不稳定的影响

  • 解放军理工大学气象学院, 南京 211101
资助项目: 本文得到国家重点基础研究专项经费 (编号G1998040900) 和国家自然科学基金 (批准号49875008) 资助

摘要: 介绍了广义Eady模态的斜压不稳定问题并着重讨论了环境参量对该不稳定的影响。该模态不仅存在有类似于经典Eady模态的不稳定短波截断, 还存在有经典Eady模态中没有的长波截断, 前者对环境参量的变化不太敏感而后者对环境参量的变化敏感。层结参数的减小, 模式底基流垂直切变的增大, 纬度的增高和模式层顶高度的减小, 均有利于该模态不稳定的发生。广义Eady模态下的最不稳定波仍发生在天气尺度波段, 其振幅和位相随高度的变化大体与标准Eady模态类似, 等位相线也随高度西倾, 但振幅关于大气中层不再呈对称性。

English Abstract

    • 众所周知,中高纬度天气尺度系统的发展和大气的斜压性密切相关,为了解该类系统的发展机制则必须讨论斜压不稳定问题。关于斜压不稳定问题的开创性研究是由Eady[1]和Charney[2]进行的。Eady模态和Charney模态的稳定性问题已成为斜压不稳定的经典问题。在Eady模态和Charney模态中均假定了纬向西风基流具有恒定的垂直切变且层结参数N2为常数。但这两个模态也有不足,Eady模态的主要不足是取f平面近似,β为零,而Charney模态虽考虑了β的作用,取β平面近似,但其不足之处在于仍采用了基流垂直切变和N2为常数的假定。由于这两个模态的不同,两者解的形式也不同。几十年来在Eady、Charney工作的基础上,不少人对斜压不稳定作过许多研究,直至现在其仍是一个气象学者感兴趣的课题。Lindzen[3] (1994) 曾研究了基本场位涡梯度为零,β≠0情况下的Eady问题,即广义Eady问题。他指出,由于β ≠0,只要N2及西风基流的垂直切变Uz不为常数,则仍可满足基本场位涡梯度为零的条件,此时可采用Bessel函数求解标准模问题,但其结果与经典Eady问题不同。经典Eady问题只存在短波截断,即对水平波长LLc(Lc为临界波长) 的所有波动均是不稳定的,而在修正的Eady问题中,不稳定扰动的波长L则要满足Lc1LLc2,这里Lc1Lc2分别是两个临界波长,也即其不仅存在短波截断,还存在长波截断。在上述Lindzen的问题中,利用其基本场位涡梯度为零的条件可求其N2Uz,此时因β ≠0,故必有N2不为常数或d2U/dz2 ≠0。同年Mu[4]等对于非线性Eady模态的稳定性问题进行了研究,随后Lui和Mu[5] (1996) 又研究了准地转斜压流中Eady模态的非线性稳定性。最近Liu和Mu[6] (2001) 等人还研究了广义Eady模态的非线性斜压不稳定问题,在该问题中β ≠0且N2也可不为常数,但作者仅考虑了N2为常数的情况。此时只要选取合适的基流,仍有基本场的位涡梯度为零,并可求解该斜压不稳定问题。本文介绍了此问题并着重讨论了环境参量对该不稳定的影响。

    • 绝热、无地形的准地转位涡方程为:

      (1)

      这里为位涡,Φ为流函数,,∂(Φ,P)=ΦxPyyPxf0为科氏参数,β为f随纬度的变化,S=N2/ f02N2为层结参数,为简便起见均设这些参数为常数。在区域Ω=D ×(0,H) 中考虑此问题。这里D={-XxX,-YyY },XY为区域的东西和南北边界,此时边界条件为:

      (2)

      这里H为模式层顶高,。设:

      (3)

      在此;而Ψ,Q则为满足方程 (1) 和边界条件 (2) 的定常基本态,ψ,q为其扰动。现考虑Ψ及相应的基本气流U有以下的形式:

      (4a)

      (4b)

      这里U0,Λ均为常数,且Λ>0。由式 (4b) 可见,此时基本气流U的垂直切变不为常数,当β,S不为零时,它是z的二次函数;而其切变:

      (4c)

      则为z的线性函数;当z=0时,有Uz(0)=Λ,故Λ反映了在模式底 (即z=0处) 基流的垂直切变。从U和Ψ的形式还可推出此时基本态的位涡Q=f0为常数,基本态的位涡梯度∂Q/∂y=0。将式 (4a)、(4b) 代入方程 (1) 和边界条件 (2),可得线性化后的方程和边界条件:

      (5)

      (6)

      设方程 (5) 的解为:

      (7)

      其中c为复相速,并且:

      (8a)

      (8b)

      记:

      (8c)

      为无量纲总波数,

      (8d)

      为无量纲数,则方程 (5) 和边界条件 (6) 可化为:

      (9)

      (10a)

      (10b)

      方程 (9) 的通解可取为:

      (11)

      其中为不为零的任意常数。利用边界条件 (10a)、(10b) 可得以下频散关系:

      (12)

      这里c1=c-U0,且有

      式 (12) 是一个关于c1也即关于c的二次方程,存在着两个解,其对应于斜压大气中长波的两个模态。显然,存在不稳定正规模的充要条件是式 (12) 关于c1的判别式Δ<0,也即:

      (13)

      上式也可写为:

      (14)

      在此有:

      (15)

      函数μ(ν) 和μ2(ν) 的图象如图 1所示。由上述μ(ν) 的表达式可知,若ν≥0则μ(ν) 是ν的单调减函数;且有μ(0)=1;νm=2.065时,μ(νm)=0,和ν0=2.399时,μ(ν0)=-1。当μ(ν)<0时,随着ν的增大,μ(ν) 则迅速减小;特别当0<νν0时,有μ2(ν)<1,由式 (13) 可知,此时可有Δ<0,故扰动有可能发生不稳定且不稳定扰动的无量纲总波数总是大于零而小于ν0(参见图 1b)。

      图  1  函数μ(ν)(a) 和μ2(ν)(b) 的图像

      对于任意给定的b(其大于零),参考式 (14),(15) 后知,总存在ν1ν2,使得以下两式[6]成立:

      (16a)

      (16b)

      ν1ν2,还满足以下不等式:

      (17)

      这里ν1即是广义Eady模态线性不稳定相应于长波截断的临界波数,而ν2则是该不稳定相应于短波截断的临界波数。当ν1νν2时,相应的扰动是不稳定的,且νν1相应于长波稳定区,νν2则相应于短波稳定区

    • 首先取典型的环境参量,对由式 (12) 决定的频散关系进行计算。计算中取N2为1 ×10-4s-2,纬度取45°,此时f0=1.031 ×10-4,β=1.620 ×10-11,模式顶高H取10 km,模式底基流垂直切变Λ则取0.003 s-1。计算结果如图 2所示,图 2的横坐标是无量纲总波数ν,纵坐标分别是c的实部和虚部,其分别代表了扰动的传播相速和不稳定的增长率 (后面的图与此相同,不再赘述)。由式 (12) 可知关于c有两个根,图中的实线和虚线分别代表了c的两个解。由该图可见,当ν>2.394和ν<0.83时,c的虚部为零,即不稳定的增长率为零,这两个区域分别对应于短波稳定区和长波稳定区。当0.83<ν<2.394时,c的虚部不为零,即存在一对不稳定的增长解和衰减解;故ν2=2.394是该典型环境下短波截断的临界波数,在经典的Eady模态中,该短波截断也是存在的;而ν1=0.83则是不稳定长波截断的临界波数,这与经典的Eady模态不同,在那里不存在长波截断。

      图  2  不稳定扰动的增长率 (b) 和相速 (a) 随总波数的变化

      图 2a,即c的实部 (相速) 随ν的变化图中还可见:对应于c的虚部不为零的两个模态 (一个增长,一个衰减),其相速相同并均大于零,扰动向东传播,且随ν的增大,该相速略有增加。对应于短波稳定区和长波稳定区的扰动,也有两个模态,它们传播的相速不同。在短波稳定区,这两个模态的相速均大于零,向东传播。其中一个模态随ν的增大 (波长减小) 相速减小,而另一模态则相速增加,前者相速随波长的变化规律与众所周知的β通道中的正压Rossby波相似。在长波稳定区,随着ν的减小 (波长增大),扰动的两个模态则分别向东、向西传播,而这与短波稳定区中的情况有所不同。西传模态相速的绝对值随ν的减小而迅速增大,当ν→0时,该相速→-∞;该相速随波长的变化规律也类似于β通道中的正压Rossby波。

      为了解环境参量对广义Eady模态不稳定的影响,本文还对不同的N2,Λ,纬度H作了计算,下面给出具体的计算结果。

    • 取其它参量与上面典型的情况 (图 2的情况) 相同,而层结参数N2则分别取1 ×10-5s-2和1 ×10-3 s-2,其相应相速和增长率的计算结果则见图 3ab图 4ab。与图 2ab对照后可知,对应不同的N2值,在区间ν1νν2中,c的虚部不为零;在该区间中,有不稳定扰动;而ν1ν2分别是上述的长波截断和短波截断的临界波数。相应N2为1 ×10-5s-2的情况,ν1=0.3,ν2=2.398;而相应于N2为1 ×10-3s-2,则ν1=1.6,ν2=2.3。N2的变化引起了上述临界波数的变化。表 1还给出了计算得到的不同层结稳定度N2时,两个临界波数的大小。从该表可见,随着层结稳定度N2的减小,短波截断的临界波数增大 (临界波长减小),长波截断的临界波数减小 (临界波长增大),不稳定波段的范围变大,也即层结稳定度的减小有利于广义Eady模态不稳定的发生。此外还可见,层结稳定度的增大,虽然不稳定的波段范围减小了,但是最大不稳定增长率却增大了,这可能是因N2的增大有利于不稳定能量的累积的缘故。

      图  3  不稳定扰动的增长率 (b) 和相速 (a) 随总波数的变化

      图  4  不稳定扰动的增长率 (b) 和相速 (a) 随总波数的变化

      表 1  v1v 2N2的变化 (N2单位为10-5 s-2)

    • 这里其它参量仍取上面典型的情况 (同图 2),仅改变模式底基流垂直切变Λ的大小,以讨论其影响。取不同的Λ计算后,其不稳定扰动的增长率和相速随总波数的变化类似于图 2,仍存在长波截断和短波截断,与图 2的最大差别是这时的ν1ν2大小不同。ν1ν2随模式底基流垂直切变Λ的变化见图 5,由图可见,随着Λ的增大,长波截断的临界波数ν1减小,短波截断的临界波数ν2增大。当Λ=0.001 s-1时,ν1=1.25,ν2=2.372;当Λ=0.01 s-1时,ν1=0.5,ν2=2.398。故模式底基流垂直切变的增大有利于不稳定的波段范围变大,即有利于广义Eady模态不稳定的发生。

      图  5  ν1(实线)、ν2(虚线) 随Λ的变化

    • 纬度的改变将使参数f0和β发生变化。减小则f0减小而β增大,从而使βS增大,由式 (4c) 知其使基流的垂直切变增大。这里其它参量仍取上面典型的情况 (图 2的情况),仅改变纬度的大小,以讨论其影响。不同纬度的计算结果表明,纬度的不同不改变广义Eady模态中存在的不稳定长波截断和短波截断的特征,仅改变长波截断、短波截断的临界波数ν1ν2的大小 (其不稳定扰动的增长率和相速随总波数的变化类似于图 2,图略)。图 6给出了ν1ν2随纬度的变化,从图上可以看出,长波截断的临界波数ν1随纬度的增高而减小,短波截断的临界波数ν2随纬度增高而增大。从图上还可看出当=35°时,ν1=1.05,ν2=2.386;当=55°时,ν1=0.7,ν2=2.396。参照图 2后可知,随纬度的增大不稳定波段的范围变大,故纬度的增高有利于广义Eady模态不稳定的发生。

      图  6  ν1(实线)、ν2(虚线) 随纬度的变化

    • 模式层顶高H是通过式 (8d) 中的b来影响频散关系的。这里其它参量仍取上面典型情况 (图 2的情况),仅改变H的大小,以讨论其影响。不同H的计算结果表明,H的不同不改变广义Eady模态中存在的不稳定长波截断和短波截断的特征,仅改变长波截断、短波截断的临界波数ν1ν2的大小 (其不稳定扰动的增长率和相速随总波数的变化类似于图 2,故图略)。表 2给出了计算得到的ν1ν2H的变化情况。由该表可见,随着H的增大,ν1增大而ν2减小。当H为3 km时,ν1=0.6,ν2=2.398;当H为5 km时,ν1=0.7,ν2=2.396。参照图 2后可知,模式层顶高H的减小有利于广义Eady模态不稳定的发生。

      表 2  v1v2H的变化

    • 文献[6]的理论分析已指出,环境参量改变后,广义Eady模态不稳定中同时存在有长波截断和短波截断的特征不发生变化,本文用数值方法的计算结果也得到了同样的结论。广义Eady模态中存在有长波截断,这点与经典Eady模态有所不同。长波截断的存在主要是由于基流的垂直切变不是常数。实际大气中基流 (纬向西风) 随高度的变化是多样的,其垂直切变一般不为常数。

      对于环境参量取典型值 (图 2中的值) 的情形,从图 2b中可见,相应其最大增长率的无量纲总波数ν约为1.25,若取Y=2000 km,此时可算得其水平波长L约为5760 km,属天气尺度系统。由此可知在该典型环境下,天气尺度的扰动最易发生不稳定。

      仔细分析以上的计算结果后还可发现,环境参量改变虽然不影响ν1ν2的存在,但不同的环境参量却对ν1ν2的大小有很大的影响。值得注意的是,短波截断的临界波数ν2和长波截断的临界波数ν1随环境参量的变化趋势却不相同,长波截断的临界波数对环境参量的变化敏感,而短波截断的临界波数对环境参量的变化不太敏感,且其总是小于2.4,这是因函数μ2(ν) 的形式所决定的。

      ν0=2.399时,μ2(ν0)=1,而νν0时,μ2(ν)>1,且随ν的增加μ2(ν) 的值急速增大 (参见图 1b),从而由前面存在该不稳定的充要条件可知,相应于νν0的短波均是稳定的。

      当0<νν0时,有μ2(ν)<1,故在该区间均有发生不稳定的可能,但是否确有不稳定发生还取决于不等式 (14) 的满足,即决定于参数b的取值。环境参量的变化会造成b值的变化,由于在0<νν0的区间μ2(ν) 的值变化较平缓 (参见图 1b),这样不等式 (14) 的成立就对b值敏感。因bSH/ Λ,故不等式 (14) 对环境参量敏感,这就造成了长波截断的临界波数对环境参量的变化敏感。

      进一步分析式 (11)、(12) 可知,解二次方程式 (12) 可求得两个根c,这样式 (11) 就有两个相应于该c的解,其分别对应于z方向上的两个模态。将式 (12) 求得的两个c利用关系c1=c-U0和式 (11) 就可求得这两个模态的结构。

      图 7给出了最不稳定波的振幅和位相随高度的变化,其结果大体与标准的Eady模态类似[7],不同的是这里振幅关于大气中层 (即z=H/2处) 不再呈对称性了,这是由于这里风切变是非线性的缘故。对于与以上复速度c共扼的另一支稳定的波,其振幅随高度的变化与图 7相同,而位相随高度的变化则与图 7相反 (图略)。

      图  7  最不稳定波的振幅 (实线) 和位相

      由于图 7中的最不稳定波的位相随高度增加,故该波动的等位相线必然随高度西倾,这恰好是能量从平均场向扰动场转换的条件。从x-z剖面图可看出 (图略,实际上从图 7也可看出),z=0处波动的位相比z=H处波动的位相超前约π/2 rad,也即顶层等压面的槽脊比底层等压面要滞后π/2 rad。这体现了斜压不稳定扰动的特点

    • N2为常数,β ≠0的情况下,通过选取其垂直切变不为常数的基流 (纬向西风),可得基本场位涡梯度为零的广义Eady模态。本文对该模态的线性稳定性作了介绍,讨论了环境参量对该不稳定模态的影响,并得到以下主要结论:

      1) 广义Eady模态不仅存在类似于经典Eady模态的不稳定短波截断,还存在经典Eady模态中没有的长波截断,前者对环境参量的变化不太敏感而后者对环境参量的变化敏感。

      2) 层结参数N2的减小,模式底基流垂直切变Λ的增大,纬度的增高和模式层顶高Η的减小,均有利于广义Eady模态不稳定的发生。

      3) 广义Eady模态下的最不稳定波仍发生在天气尺度波段,其振幅和位相随高度的变化大体与标准Eady模态类似,等位相线也随高度西倾,但振幅关于大气中层不再呈对称性。

参考文献 (7)

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